Page 2 of 2
ΟΚ η παράγωγος δεν είναι συνεχής αλλά [b]που είναι το λάθος[/b] στην παρακάτω "απόδειξη";
'Εστω \(f:\Delta \rightarrow R\) παραγωγίσιμη. Για τυχόν \(x_{0}\in \Delta\)έχουμε:
\(f^{\prime }\left( x_{0}\right) =\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}=_{\left( \frac{0}{0}\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{\left( f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right) ^{\prime }}{\left( x-x_{0}\right) ^{\prime }}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{\left( f\left( x\right) \right) ^{\prime }}{1}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f^{\prime }\left( x\right)\)
επομένως η παράγωγος της συνάρτησης \(f\) είναι συνεχής στο τυχόν \(x_0\).