Deprecated: Creation of dynamic property Joomla\Database\Mysql\MysqlDriver::$charset is deprecated in /var/www/vhosts/shasapis.sites.sch.gr/httpdocs/libraries/vendor/joomla/database/src/Mysql/MysqlDriver.php on line 121
Σωτήριος Δ. Χασάπης - www.arithmoi.gr 2000-2020 - Εφαπτομένη και Κυρτότητα

Deprecated: Automatic conversion of false to array is deprecated in /var/www/vhosts/shasapis.sites.sch.gr/httpdocs/libraries/src/Document/Document.php on line 514

Αν \(f\) παραγωγίσιμη στο \((a,b)\) και για κάθε \(x, x_0\in (a,b), x\neq x_0\) ισχύει ότι:

\[ f(x)-f(x_0 ) - f'(x_0 ) (x-x_0 ) >0  \]

τότε η \(f\) είναι κυρτή στο \((a,b)\).

Απόδειξη:

Ας θεωρήσουμε \(x_1 , x_2  \in (a,b),\ a<x_1 < x_2 < b\), τότε για \(x_0 = x_1 \) η δοθείσα σχέση γίνεται:

\[ f(x) - f(x_1 ) - f'(x_1 ) (x-x_1 ) > 0 \forall x \in (a,b) \Rightarrow f(x_2 ) - f(x_1 ) - f'(x_1 ) (x_2 - x_1 ) >0\]

Ομοίως έχουμε ότι:

\[ f(x) - f(x_2 ) - f'(x_2 ) (x-x_2 ) > 0 \forall x \in (a,b) \Rightarrow f(x_1 ) - f(x_2 ) - f'(x_2 ) (x_1 - x_2 ) >0\]

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε:

\[ -f'(x_1 ) (x_2 - x_1 ) + f'(x_2 ) (x_2 - x_1 ) > 0 \Leftrightarrow (x_2 - x_1 ) (f'(x_2 ) - f'(x_1 ) )>0 \Rightarrow f'(x_2 ) > f' (x_1) \]

Συνεπώς, η \(f'\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((a,b)\), οπότε \(f\) κυρτή στο \((a,b)\).

Login Form