Απόδειξη 1η
Έστω \(a,b\in\Delta\) με \(a<b\) και ας υποθέσουμε λόγω του 1-1 ότι \(f(a)<f(b).\)
Έστω \(c,d\in\Delta\) τυχόντα με \(c<d.\) Θα δείξουμε ότι \(f(c)<f(d).\)
Ορίζουμε τις συναρτήσεις \(h(t)=(1-t)a+tc\) και \(g(t)=(1-t)b+td\) με \(t\in [0,1].\)
Παρατηρούμε ότι για κάθε \(t\in [0,1]\) έχουμε ότι \(h(t),g(t)\in\Delta\) και επιπλέον \(h(t)<g(t).\)
Τότε η συνάρτηση \(F(t)=f(h(t))-f(g(t))\) είναι συνεχής (σύνθεση και διαφορά συνεχών) και δεν μηδενίζεται λόγω τους 1-1 της \(f\) και της σχέσης \(h(t)<g(t)\) για κάθε \(t\in [0,1].\) Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα \([0,1].\)
Όμως \(F(0)=f(a)-f(b)<0\) Οπότε πρέπει και \(F(1)=f(c)-f(d)<0\) και έχουμε το ζητούμενο.
Απόδειξη 2η
Έστω \(a<b<c\) που ανήκουν στο διάστημα συνέχειας της \(f\).
Πρέπει να αποδείξουμε ότι \(f(a)<f(b)<f(c)\) ή \(f(a)>f(b)>f(c)\).
Έστω για παράδειγμα \(f(a)<f(c)<f(b)\).
Αφού \(f(a)\neq f(b)\) και \(f(c)\in \left(f(a),f(b) \right)\) από Θ.Ε.Τ θα υπάρχει \(x_{0}\in \left(a,b \right)\) τέτοιο, ώστε \(f\left(x_{0} \right)=f\left(c \right)\).
Όμως η \(f\) είναι \(1-1\) , οπότε \(x_{0}=c\). Αυτό όμως είναι άτοπο διότι \(a<b<c\).
Άρα η \(f\) θα είναι γνησίως μονότονη.
Ομοίως αποδεικνύεται και για τις άλλες περιπτώσεις.. ( \(f(b)<f(a)<f(c)\) κ.λπ)
Πηγή και προβλήματα σε άλλες αποδείξεις.