H συνάρτηση
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,\,\,\,x \ne 0 \\
0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\, \\
\end{array} \right.\)
έχει παράγωγο
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{2x}\sin( \frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}) ,\,\,\,\,\,x \ne 0 \\
0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\, \\
\end{array} \right.\)
η οποία δεν είναι συνεχής στο 0.
Δείτε την εφαρμογή εδώ.
ΟΚ η παράγωγος δεν είναι συνεχής αλλά [b]που είναι το λάθος[/b] στην παρακάτω "απόδειξη";
'Εστω \(f:\Delta \rightarrow R\) παραγωγίσιμη. Για τυχόν \(x_{0}\in \Delta\)έχουμε:
\(f^{\prime }\left( x_{0}\right) =\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}=_{\left( \frac{0}{0}\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{\left( f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right) ^{\prime }}{\left( x-x_{0}\right) ^{\prime }}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{\left( f\left( x\right) \right) ^{\prime }}{1}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f^{\prime }\left( x\right)\)
επομένως η παράγωγος της συνάρτησης \(f\) είναι συνεχής στο τυχόν \(x_0\).