Εφαπτομένη και Κυρτότητα
- Details
- Category: Κατεύθυνση Γ΄λυκείου
- Published: Tuesday, 01 March 2022 22:50
- Written by Super User
- Hits: 48
Αν \(f\) παραγωγίσιμη στο \((a,b)\) και για κάθε \(x, x_0\in (a,b), x\neq x_0\) ισχύει ότι:
\[ f(x)-f(x_0 ) - f'(x_0 ) (x-x_0 ) >0 \]
τότε η \(f\) είναι κυρτή στο \((a,b)\).
Απόδειξη:
Ας θεωρήσουμε \(x_1 , x_2 \in (a,b),\ a<x_1 < x_2 < b\), τότε για \(x_0 = x_1 \) η δοθείσα σχέση γίνεται:
\[ f(x) - f(x_1 ) - f'(x_1 ) (x-x_1 ) > 0 \forall x \in (a,b) \Rightarrow f(x_2 ) - f(x_1 ) - f'(x_1 ) (x_2 - x_1 ) >0\]
Ομοίως έχουμε ότι:
\[ f(x) - f(x_2 ) - f'(x_2 ) (x-x_2 ) > 0 \forall x \in (a,b) \Rightarrow f(x_1 ) - f(x_2 ) - f'(x_2 ) (x_1 - x_2 ) >0\]
Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε:
\[ -f'(x_1 ) (x_2 - x_1 ) + f'(x_2 ) (x_2 - x_1 ) > 0 \Leftrightarrow (x_2 - x_1 ) (f'(x_2 ) - f'(x_1 ) )>0 \Rightarrow f'(x_2 ) > f' (x_1) \]
Συνεπώς, η \(f'\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((a,b)\), οπότε \(f\) κυρτή στο \((a,b)\).