Συνεχής και 1-1 συνάρτηση σε διάστημα είναι και γνησίως μονότονη

Απόδειξη 1η

Έστω \(a,b\in\Delta\) με \(a<b\) και ας υποθέσουμε λόγω του 1-1 ότι \(f(a)<f(b).\)
Έστω \(c,d\in\Delta\) τυχόντα με \(c<d.\) Θα δείξουμε ότι \(f(c)<f(d).\)
Ορίζουμε τις συναρτήσεις \(h(t)=(1-t)a+tc\) και \(g(t)=(1-t)b+td\) με \(t\in [0,1].\)
Παρατηρούμε ότι για κάθε \(t\in [0,1]\) έχουμε ότι \(h(t),g(t)\in\Delta\) και επιπλέον \(h(t)<g(t).\)
Τότε η συνάρτηση \(F(t)=f(h(t))-f(g(t))\) είναι συνεχής (σύνθεση και διαφορά συνεχών) και δεν μηδενίζεται λόγω τους 1-1 της \(f\) και της σχέσης \(h(t)<g(t)\) για κάθε  \(t\in [0,1].\) Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα \([0,1].\)
Όμως \(F(0)=f(a)-f(b)<0\) Οπότε πρέπει και \(F(1)=f(c)-f(d)<0\) και έχουμε το ζητούμενο.

Απόδειξη 2η

Έστω \(a<b<c\) που ανήκουν στο διάστημα συνέχειας της \(f\).

Πρέπει να αποδείξουμε ότι \(f(a)<f(b)<f(c)\) ή \(f(a)>f(b)>f(c)\).

Έστω για παράδειγμα \(f(a)<f(c)<f(b)\).

Αφού \(f(a)\neq f(b)\) και \(f(c)\in \left(f(a),f(b) \right)\) από Θ.Ε.Τ θα υπάρχει \(x_{0}\in \left(a,b \right)\) τέτοιο, ώστε \(f\left(x_{0} \right)=f\left(c \right)\).

Όμως η \(f\) είναι \(1-1\) , οπότε \(x_{0}=c\). Αυτό όμως είναι άτοπο διότι \(a<b<c\).

Άρα η \(f\) θα είναι γνησίως μονότονη.

Ομοίως αποδεικνύεται και για τις άλλες περιπτώσεις..  ( \(f(b)<f(a)<f(c)\) κ.λπ)

Πηγή και προβλήματα σε άλλες αποδείξεις.

 

 

 

Δημιουργίες - Εργασίες - Δημοσιεύσεις - Παρεμβάσεις

 

Μερικές από τις σημαντικότερες εργασίες - παρουσιάσεις.

 

Ξενόγλωσσες

Ελληνικές

Συνέδρια - Ομιλίες

Βιβλία - Σημειώσεις

Διοργάνωση - Σύνταξη

 

Εργασίες Μαθητών μου

  • Euromath 2015, (σελίδα του συνεδρίου www.euromath.org)
  • ΜΕΛΕΤΗ 2, Οκτώβριος 2017. Περιοδικό για μαθητές. Άρθρο του Μαθητή της Γ΄λυκείου Χαρίλαου Πίπη, σχετικό με τα γραφήματα και τις εφαρμογές τους(πχ Μονοκονδυλιές, γραφήματα Euler κ.ά.). Περιέχει και κώδικα υλοποιημένο σε Python. Δείτε το περιοδικό εδώ.
  • 1ο Μαθητικό Συνέδριο Μαθηματικών 2018. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία. Οι συμμετοχές των μαθητών μας στο πρόγραμμα του συνεδρίου εδώ.
    • Pagerank:O αλγόριθμος που εκτόξευσε την Google στην κορυφή - Γιαννουλάτου Μαρία - Ντόρη Αλεξάνδρα.
    • Ο αλγόριθμος κρυπτογράφησης RSA - Τσουβαλάς Ανδρέας
    • Το Πυθαγόρειο Θεώρημα και εφαρμογές του - Κονίδας Χρήστος
    • Επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο «Διαίρει και Βασίλευε» - Ευάγγελος Πίπης

Λίγα λόγια για τον διαχειριστή

Γεννήθηκα στον Πειραιά το 1975. Αποφοίτησα από το 9ο Δημοτικό Σχολείο Κερατσινίου και στη συνέχεια σπούδασα στο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο - Λύκειο Ιωνιδείου Σχολής Πειραιά. Τη χρονιά αποφοίτησής μου από το Λύκειο, όταν οι εισακτέοι στα Α.Ε.Ι. και Τ.Ε.Ι. της χώρας δεν ξεπερνούσαν τις 40.000 και οι διαγωνιζόμενοι μαθητές ήταν περί τις 150.000 οι 119 από τους 122 αποφοίτους της τάξης μου εισήχθησαν σε σχολές της επιλογής τους. Στη συνέχεια σπούδασα στο Μαθηματικό Τμήμα της Σχολής Θετικών Επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών, όπου εισήχθηκα από τους πρώτους, ενώ ταυτόχρονα ασχολήθηκα ερασιτεχνικά με την καλαθοσφαίριση και τον στίβο και εργάστηκα σε φροντιστήρια μέσης εκπαίδευσης. Εκπλήρωσα τις στρατιωτικές μου υποχρεώσεις ως έφεδρος υπαξιωματικός των Τεθωρακισμένων στην Αλεξανδρούπολη και στη συνέχεια εργάστηκα παράλληλα σε φροντιστήρια μέσης εκπαίδευσης ως Μαθηματικός και σε εργαστήρια πληροφορικής ως εισηγητής πληροφορικής και εκπαιδευτής ενηλίκων σε νέες τεχνολογίες. Την ίδια εποχή ολοκλήρωσα τις μεταπτυχιακές σπουδές ειδίκευσης στο Τμήμα Μαθηματικών Ε.Κ.Π.Α. στα Θεωρητικά Μαθηματικά με τη διπλωματική υπ.αριθμόν 99 με τίτλο: «Αναπαραστάσεις του Magnus» σχετική με τις διάφορες μορφές των αναπαραστάσεων του Magnus και τις εφαρμογές τους κυρίως στην Κρυπτογραφία.
Στη συνέχεια, ως επιτυχών γραπτού διαγωνισμού του Α.Σ.Ε.Π., εργάστηκα ως μόνιμος υπάλληλος στην Εθνική Τράπεζα της Ελλάδος στο τμήμα Επιχειρηματικής Πίστης και Συναλλάγματος του κεντρικού Καταστήματος Κερατσινίου, απ'' όπου και παραιτήθηκα, με το διορισμό μου - ως επιτυχών του γραπτού διαγωνισμού του Α.Σ.Ε.Π. 2008 - το 2009 στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Με το διορισμό μου δίδαξα σε σχολεία της Χίου, ενώ από το σχολικό έτος 2013 - 14, μετά την αναμόρφωση των Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων με τον ν.3966/2011 και έπειτα από διαγωνισμό του Υπουργείου Παιδείας διδάσκω Μαθηματικά (και ταυτόχρονα εξασκώ διοικητικό έργο, έργο φύλακα, παιδαγωγού, ψυχολόγου, εξεταστή, επισκευαστή και άλλων επαγγελματιών) στο Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο και Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης στη Νέα Σμύρνη με πενταετή θητεία.

Στον ελεύθερο χρόνο μου ασχολούμαι με την οικογένειά μου, τα Μαθηματικά του σχολείου, τις μεθόδους διδασκαλίας τους και τη σύγχρονη έρευνα των Μαθηματικών.

Έχω συμμετάσχει σε πολλές επιμορφώσεις σχετικά με την εκπαίδευση και τα παιδαγωγικά και είναι κάτοχος πιστοποίησης Α'' και Β'' επιπέδου στις Τ.Π.Ε. Επιπλέον συμμετέχει στη διοργάνωση παρόμοιων εκδηλώσεων και συνεδρίων, ώστε να ωθηθεί η ανταλλαγή απόψεων μεταξύ των συναδέλφων και η αλληλοτροφοδότηση με καλές ή λιγότερο καλές εμπειρίες στην εκπαίδευση.

Τα «Μαθηματικά» μου ενδιαφέροντα εστιάζονται στις εφαρμογές των μαθηματικών, ειδικότερα στη μη μεταθετική κρυπτογραφία και την ανάπτυξη των μαθηματικών ως μέσου προσέλκυσης των μαθητών στη μάθηση, καθώς επίσης και την παιδαγωγική αξιοποίησή της και γενικότερα με «Όμορφα Μαθηματικά».

Δημιουργίες - Εργασίες - Δημοσιεύσεις - Παρεμβάσεις